Рассмотрим энергетические соотношения для электрической цепи, состоящей, например, из одной машины постоянного тока с э.д.с. Е₁и внутренним сопротивлением r_в1 и аккумуляторной батареи с э.д.с. Е₂ и внутренним сопротивлением r_в2. (рисунок 1).

Электродвижущие силы машины и аккумуляторной батареи направлены навстречу друг другу. Пусть э.д.с. Е₁ машины больше э.д.с. Е₂ аккумуляторной батареи. При этом условии направление тока I совпадает с направлением э.д.с. Е₁.Напряжение U на зажимах обоих источников меньше э.д.с. Е₁ на величину внутреннего падения напряжения r_в1I в машине и большей э.д.с. Е₂ на величину r_в2I в батарее

(1)

или

(2)

После умножения обеих частей уравнения (1) на I и перестановки слагаемых получаем:

(3)

Левая часть этого уравнения представляет собой мощность, развиваемую машиной; первое слагаемое правой части определяет мощность тепловых потерь (в обмотке машины), а второе слагаемое правой части – мощность, отдаваемую машиной и, следовательно, потребляемую аккумуляторной батареей.

Если умножим правую и левую части (2) на ток I, то получим:

(4)

Из этого уравнения непосредственно вытекает, что мощность UI, потребляемая аккумуляторной батареей, расходуется на тепловые потери (r_в2I²)и на зарядку аккумуляторов (Е₂I).

Полученные соотношения для баланса мощностей применимы не только к цепи для зарядки аккумуляторов, но и к любым другим цепям. Отличие состоит лишь в том, что в приемниках другого рода энергия расходуется не на зарядку аккумулятором, а на другие процессы, например в электрических двигателях на механическую работу.

Если представить источник энергии другой эквивалентной схемой (рисунок 2), то окажется, что мощность, развиваемая источником тока, не равно мощности, развиваемой источником напряжения.

Действительно, мощность, развиваемая источником тока, определяется произведением тока J₁ на напряжение U на зажимах источника тока, т.е. равна J₁U. Так как и , то после замены тока J₁ и элементарных преобразований получим:

(5)

Из сравнения выражений (5) и (3) непосредственно следует, что при одинаковом напряжении на зажимах обоих источников и одинаковом токе I тепловые потери r_в1I² в схеме рисунок 1 не равны в общем случае тепловым потерям в схеме 2, вследствие чего мощность, развиваемая источником э.д.с. Е₁I , на равна мощности, развиваемой источником тока J₁U. Это обстоятельство следует иметь в виду при замене реального источника энергии источником тока.

Пример 1. На зажимах двух последовательно соединенных источников энергии (э.д.с. Е₁=12В и Е₂=48В, внутренние сопротивления r_в1=0,4 Ом и r_в2=0,6Ом) включен приемник с изменяющимся сопротивлением r (рисунок 3). Определить величину сопротивления r, при котором мощность в этом сопротивлении имеет максимальное значение. Найти величины мощностей приемника и источников энергии при указанном сопротивлении.

Решение. Для определения величины сопротивления r₁, при котором мощность сопротивления r, при котором мощность в этом сопротивлении имеет максимальное значение, воспользуемся выражением мощности P=rI². Так как ток

то

Если взять производную от Р по r и приравнять ее нулю, то найдем искомую величину сопротивления

Это соотношение показывает, что мощность приемника имеет максимальное значение при равенстве суммарного внутреннего сопротивления источников и сопротивления приемника.

Остальные величины определяются по формулам:

Мощность первого и второго источника э.д.с.

Мощность приемника

Тепловые потери в обоих источника

т.е. мощность приемника равна мощности тепловых потерь в обоих источниках.