Если в цепь переменного тока включена идеальная индуктивность, то в момент времени, когда возрастает мгновенное значение силы тока, протекающего от источника, энергия источника расходуется на образование магнитного поля в индуктивности без превращения ее в тепловую или механическую энергию. В момент времени, когда мгновенное значение силы тока убывает, магнитное поле рассеивается, и запасенная в нем энергия отдается обратно источнику.

Покажем это аналитически и графически. Пусть к источнику переменного тока подключена катушка индуктивности L (рисунок 1, а). Примем что ее активное сопротивление R равно нулю. В катушке будет протекать переменный синусоидальный ток .

Этот ток сопровождается переменным синусоидальным магнитным потоком, совпадающим с ним по фазе.

Переменный магнитный поток, образующийся в катушке, индуктирует э.д.с. самоиндукции е_L , пропорциональную скорости изменения тока (потока), аналогично формуле :

(1)

где е_L – э.д.с. самоиндукции, В; - скорость изменения тока, А/с; L- индуктивность катушки, Г.

Знак минус отражает правило Ленца, которое в данном случае означает, что если мгновенное значение тока увеличивается (то есть его приращение за время имеет положительный имеет положительный знак: +-точки 1 и 5 на рисунке 1,б), то мгновенное значение э.д.с. будет иметь отрицательно знак: - L()= - е_L . Если же мгновенное значение тока уменьшается (то есть его приращение за время имеет отрицательный знак: -точки 3 и 4 на рисунке 1,б), то есть э.д.с. имеет положительный знак: -L() =+е_L.

Таким образом, исходя из этих соображений, можно построить кривую мгновенных значений э.д.с. самоиндукции на основании имеющейся развернутой диаграммы тока.

Как показано на рисунке 1 б, в момент времени соответствующей точке 1, приращение тока положительное: . В момент времени 5 это приращение также положительное: . Следовательно, мгновенные значения э.д.с. в эти моменты отрицательные: -е₁ и –е₅ . В момент времени 2 приращение тока равно нулю:, поэтому э.д.с. е₂ равна нулю, то есть в этот момент график э.д.с. проходит через нуль и меняет свой знак с минуса на плюс. В момент времени, соответственно точкам 3 и 4 , приращение токов и отрицательно (например, для точки для точки 3: ). В эти моменты времени знаки э.д.с. положительны (+е₃ и +е₄).

Применяя второй закон Кирхгофа для цепи, изображенной на рисунке 1 а, и принимая во внимание, что в этой цепи действует напряжение источника u и э.д.с. самоиндукции е_L , можно написать:

или (2)

Значит, развернутая диаграмма напряжения будет зеркальным отображением развернутой диаграммы э.д.с., так как только в этом случае в каждый момент времени сумма значений э.д.с. и напряжений равна нулю.

Теперь по развернутой диаграмме напряжения и тока можно построить векторную диаграмму их максимальных значений, например для начального момента времени (рис 1 в). Из векторной диаграммы видно, что в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол рад. В соответствии с графиком, то есть если ток определяется равенством , напряжение .Это можно показать и аналитически. А именно, из формулы 1 и 2.

u=-e=LΔi/Δt (3)

Чтобы перейти к действующим значениям U и I, в этой формуле необходимо раскрыть значение Δi/Δt. Это представляется возможным сделать с привлечением аппарата тригонометрии.

Если в момент времени t мгновенное значение силы тока ,то для момента времени t+Δt(Δt – весьма малый, но близкий к нулю, отрезок времени) ток изменится на весьма малую величину Δi и будет равен:

Преобразуя это равенство относительно , получим:

(4)

В этом выражении угол очень незначителен, так как по условию весьма малая величина. Тогда ,а . Подставляя эти значения в формулу 4, получим:

откуда

Напряжение на индуктивности

(5)

Из формулы 5 следует, что максимальное значение напряжения на индуктивности

Поделив обе части этого равенства на перейдем к действующим значениям тока и напряжения в цепи индуктивностью:

то есть

или

(6)

где -индуктивное сопротивление.

Индуктивное сопротивление в отличии от активного называют реактивным, то есть таким, в котором происходит обратимый процесс колебания энергии от источника электрической энергии к катушке индуктивности и обратно. Равенство 6 выражает закон Ома для цепи с индуктивной нагрузкой.

Мгновенная мощность в катушке в любой момент времени

Р=ui=U_m sin(ωt+π/2)I_m sinωt=U_m I_m cosωt∙sinωt

а учитывая, что

2sin ω t∙ cosω t=sin 2 ωt

откуда

получим

или

(7)

Таким образом, мгновенная мощность цепи с индуктивным сопротивлением изменяется с двойной частотой, в течение периода 2 раза достигая положительного максимума (рисунок 1 г, момент времени 2 и 6) и 2 раза отрицательного максимума при том же абсолютном значении (момент времени 4 и 8). В течение полупериодов I и III индуктивность потребляется от генератора мощность на образование магнитного поля. В течение полупериодов II и IV мощность имеет отрицательный знак. В эти полупериоды ток в цепи уменьшается до нуля и запасенная в магнитном поле индуктивной катушки энергия возвращается обратно в источник.

Положительным мгновенное значение мощности р в полупериод I получается благодаря тому, что ток +i и напряжение +u в этот момент положительные (обе кривые лежат выше оси ωt). Для полупериода II ток положителен (+i), а напряжение отрицательно (-u), поэтому мощность имеет отрицательный знак. Для полупериода III ток и напряжение имеют знак минус (-I,-u) и т.д.

Кривую мгновенных значений мощности можно было бы получить так же графическим путем. При этом нужно найти мгновенные значения мощности для ряда точек (1,2,…,9)- произведения мгновенных значений u и i, как это было проведено для цепи с активным сопротивлением.

Среднее значение мощности за период в соответствии с рисунком 1 (г) равно нулю, так как при сложении всех положительных и отрицательных значений мгновенной мощности р, изменяющейся по синусоиду, получается сумма, равная нулю. Другими словами, в цепи с индуктивностью происходит периодический обмен энергией между генератором и индуктивностью цепи без приращения электрической энергии в тепловую или механическую. Энергия магнитного поля в джоулях, запасаемая за четверть периода,

(8)

где L- индуктивность катушки, Г; I_m –максимальная сила тока, А.

Во время полупериодов II и IV катушка отдает запасенную магнитным полем энергию обратно источнику.

Мера обмена энергией между источником и индуктивной катушкой – это максимальное значение мгновенной мощности, называемой реактивной мощностью :

(9)

где U – действующее значение напряжения, определяемое по показанию вольтметра, В; I – действующее значение реактивного тока, А; ω – угловая частота, рад/с; L – индуктивность катушки, Г.

Реактивную мощность в отличие от активной измеряют в вольт-амперах, называемых реактивными вольт-амперами : 1 вольт-ампер реактивный (1 ВАР)= 1 вольт ∙ 1 ампер.