Реальная катушка индуктивности обычно имеет и активное сопротивление, которым нельзя пренебречь. На рисунке 1 “а” показана цепь катушки индуктивность которой L, а активное сопротивление R. на рисунке 1 “б” изображены кривые мгновенных значений напряжения u и тока i в цепи R и L, а на рисунке 1 “в” - взаимное расположение векторов напряжения Um и тока Im, сдвинутых относительно один другого на угол .

Если в цепи с R и L проходит синусоидальный ток , то мгновенное значение активной составляющей напряжения может быть определено как . Мгновенное значение напряжения на индуктивном сопротивлении в соответствии с формулой

Мгновенное же значение напряжения, приложенного ко всей цепи, равно алгебраической сумме мгновенных значений напряжений на активном и индуктивном сопротивлениях:

Так как оба слагаемых этой суммы – синусоидальные величины, изменяющиеся с одинаковой частотой ω, то результирующее напряжение uтоже синусоидально и имеет ту же частоту.

Это результирующее напряжениеu представлено на рисунке 1 “б”. Векторная диаграмма амплитудных значений напряжения и тока приведена на рисунке “в”.

Анализ схем с несколькими сопротивлениями в цепи удобно проводить на векторных диаграммах действующих значений величин, которые могут быть измерены приборами, например вольтметром и амперметром (рисунок 1 “а”). Для перехода к диаграмме амплитудных величин каждый вектор действующего значения следует увеличивать в раз, так как , а .

Порядок построения векторной диаграммы для схемы 1 “а” таков. Общим для обоих сопротивлений R и X_L в этой схеме является ток, действующее значение которого измеряют амперметром А. Откладываем этот ток в определенном, удобном для нас, масштабе (рисунок 1 “а”) по горизонтали, так как начальная фаза тока i=I_msin ω t равна нулю (рисунок 1 “б”). Напряжение U_a совпадает по фазе с током, поскольку оно приложено у участку цепи, имеющему только активное сопротивление R. Поэтому вектор совпадает по фазе с током, поскольку оно приложено к участку цепи, имеющему только активное сопротивление R. Поэтому откладываем вдоль вектора .Масштаб напряжения также выбираем удобным для построения . Например если для тока мы приняли масштаб 1:1, то есть 1 ампер отложим в 1 см длины вектора , то для напряжения удобнее принять масштаб 100:1, то есть 100 вольт отложить в 1 см.

Напряжение опережает ток I по фазе на угол , так как оно приложено к участку цепи, имеющему только индуктивное сопротивление. Поэтому вектор отложим в направлении, перпендикулярном вектору . Причем масштаб вектора должен быть равен масштабу . Складывая затем геометрический и , получим вектор действующего значения общего напряжения , приложенного к цепи с R и X_L.

На векторной диаграмме (рисунок 2 “а”) векторы , и образуют прямоугольный треугольник называют треугольником напряжений.

По теореме Пифагора для этого треугольника:

Если все стороны треугольника напряжения разделить на величину Iто получиться так называемый треугольник сопротивлений (рисунок 2 “б”). Из этого треугольника

Если известно напряжение U, приложенное к к исследуемой цепи (оно может быть измерено вольтметром Vна рисунке 1 “а”), а также ток в цепи I (он измеряется амперметром А), то полное сопротивление всей цепи

отсюда

Формула 5 является математическим выражением закона Ома для индуктивной и активной нагрузкой, с последовательным соединением индуктивного и резисторного элементов .

Пользуясь векторными диаграммами, можно написать следующие соотношения между составляющими напряжения и найти значение угла . Так, из рисунка 2 “а”

Из треугольника сопротивлений

В цепи с параллельным включением активного и индуктивного сопротивления аналогично уравнению 6:

(8)

Пример 1. Определить полное сопротивление, ток и угол сдвига фаз между напряжением сети и током в цепи, если активное сопротивление цепи R=50 Ом, индуктивность катушки, включенной последовательно с активным сопротивлением, L=0,5 Г, частота тока f= 50 Гц, напряжение U=220 В.

Решение. Индуктивное сопротивление

Полное сопротивление

Ток в цепи

Угол сдвига фаз находим следующим образом:

График мгновенных значений мощности, которую потребляет цель с активным сопротивлениями, можно получить способом, изложенным при рассмотрении цепи с активным сопротивлением. С этой целью для ряда моментов времени (1,2,….13) определяют мгновенные значения тока i и напряжения u (рисунок 1 “б”), а затем перемножив их, находя мгновенные значения р. Расчет сводят в таблицу.

По полученным точкам строят развернутую диаграмму мощности, приняв масштаб для ее построения, в 7 раз большей, чем для построения u.

Как видно из полученной диаграммы, мощность не является синусоидальной величиной. Значению энергии за период времени Т соответствует площадь, заключенная между кривой мощности и осью времени. В отрезке времени 5-7 и 11-13 энергия имеет отрицательное значение и должна быть отнесена к энергии, которая возвращается из магнитного поля катушки в сеть (к генератору). Энергия, соответствующая площади ограниченной кривой поступает из генератора в цепь. Разность энергии со знаком плюс и минус равняется активной энергии, необратимость расходуемой на активном сопротивлении цепи.

Мгновенное значение мощности в цепи с активным и индуктивным сопротивлениями можно также определить аналитически:

Второй член полученного выражения описывается периодической кривой, изменяющейся с двойной частотой по сравнению с частотой тока и напряжения. Как было показано в статье “Действующее значение переменного тока”, при таком характере кривой ее среднее значение за период равно нулю.

Поэтому, переходя к средним значениям, получим среднюю мощность цепь, которую называют ее активной мощностью:

Характер мощностей и соотношение между ними в схеме с активными и индуктивными сопротивлениями можно установить, если все стороны треугольника напряжений умножить на действующее значение тока I. При этом образуется треугольник мощностей (рисунок 1, в).Из этого треугольника активная мощность, измеряется, как известно, в “Ватах” (Вт) или “Киловатах” (кВт),

(10),

то есть результат тот же что и при аналитическом определении.

Реактивная мощность, измеряемая в “вольт-амперах реактивных” (ВАР) или “киловольт-амперах реактивных” (кВАР),

Полная мощность

Полную мощность измеряют в “Вольт-амперах” () или “киловольт - амперах” ().

Косинус фи () в цепи с индуктивностью в практике часто называют отстающим или положительным.

На активном сопротивлении выделяется активная мощность , а индуктивное сопротивление определяется значение реактивной мощности, как

В практике активную мощность измеряют ваттметром, а полную мощность подсчитывают как произведение показаний вольтметра и амперметра. Зная эти две величины, можно рассчитывать реактивную мощность.

Величину называется также коэффициентом мощности. Практически в электроустановках определяют, пользуясь показаниями ваттметра (или счетчика с пересчетом киловатт-часов в киловатты), вольтметра и амперметра, или измеряют специальным прибором фазометром. Отношение показаний ваттметра к произведению показаний вольтметра на показания амперметра дает значение коэффициента мощности:

Пример 2: Однофазный электрический двигатель, коэффициент полезного действия которого , потребляет из сети напряжением с , ток . Определить потребляемую из сети активную мощность ; полезную мощность двигателя; циркулирующую в сети реактивную мощность ;полную мощность .

Решение:

Активная мощность, потребляемая двигателем из сети,

Полезная мощность двигателя:

Реактивная мощность:

Полная мощность:

или иначе:

Пример 3: Ваттметр показывает 1500 Вт, а вольтметр – 380 В, амперметр – 50 А. Определить , реактивную мощность, активный и реактивный токи.

Решение:

Коэффициент мощности

Реактивная мощность

где

Активный ток:

Реактивный ток: